Pembahasan Kalkulus Jilid 1 Purcell Edisi 5 19
CLICK HERE ->->->-> https://shurll.com/2tz2Uy
Pembahasan Kalkulus Jilid 1 Purcell Edisi 5 19
Kalkulus adalah cabang matematika yang mempelajari perubahan kontinu, seperti bentuk, gerak, dan fungsi. Kalkulus memiliki dua cabang utama, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Kalkulus diferensial berkaitan dengan laju perubahan seketika dan kemiringan kurva, sedangkan kalkulus integral berkaitan dengan penjumlahan besaran dan luas daerah[^3^].
Salah satu buku teks kalkulus yang populer adalah Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 karangan Edwin J. Purcell dan Dale Varberg. Buku ini membahas konsep-konsep dasar kalkulus seperti limit, turunan, fungsi trigonometri, fungsi eksponensial dan logaritma, aturan rantai, turunan implisit, turunan tingkat tinggi, optimasi, dan lain-lain. Buku ini juga dilengkapi dengan contoh-contoh soal dan latihan yang bervariasi dan menantang.
Pada artikel ini, kita akan membahas salah satu soal dari buku tersebut, yaitu soal nomor 19 dari bab 5. Soal ini berbunyi sebagai berikut:
Hitunglah turunan dari fungsi berikut:
$f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - x - 6}$
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan aturan kuotien untuk turunan fungsi rasional. Aturan kuotien menyatakan bahwa jika $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$, maka:
$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$
Dengan menggunakan aturan ini, kita dapat menulis:
$f'(x) = \frac{(2x + 2)(x^2 - x - 6) - (x^2 + 2x - 3)(2x - 1)}{(x^2 - x - 6)^2}$
Kemudian, kita dapat menyederhanakan ekspresi di atas dengan melakukan perkalian dan pengurangan pada pembilang. Hasilnya adalah:
$f'(x) = \frac{-4x^2 + 10x + 9}{(x^2 - x - 6)^2}$
Ini adalah jawaban akhir dari soal tersebut. Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung turunan dari fungsi yang diberikan.Sebagai latihan tambahan, kita dapat mencoba soal nomor 20 dari bab 5. Soal ini berbunyi sebagai berikut:
Hitunglah turunan dari fungsi berikut:
$f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 + 1}$
Untuk menyelesaikan soal ini, kita juga dapat menggunakan aturan kuotien untuk turunan fungsi rasional. Dengan menggunakan aturan yang sama seperti sebelumnya, kita dapat menulis:
$f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 + 1) - (x^3 - 3x + 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
Kemudian, kita dapat menyederhanakan ekspresi di atas dengan melakukan perkalian dan pengurangan pada pembilang. Hasilnya adalah:
$f'(x) = \frac{-x^4 + 4x^2 + 6x - 5}{(x^2 + 1)^2}$
Ini adalah jawaban akhir dari soal tersebut. Dengan demikian, kita telah berhasil menghitung turunan dari fungsi yang diberikan.
Turunan fungsi rasional sering muncul dalam berbagai aplikasi kalkulus, seperti analisis kurva, laju perubahan, dan optimasi. Dengan memahami aturan kuotien dan cara menggunakannya, kita dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi rasional dengan mudah dan cepat.Untuk melengkapi artikel ini, kita dapat memberikan beberapa contoh aplikasi turunan fungsi rasional dalam dunia nyata. Berikut adalah beberapa di antaranya:
Turunan fungsi rasional dapat digunakan untuk menghitung kecepatan dan percepatan suatu benda yang bergerak dengan gerak harmonik sederhana. Misalnya, jika suatu benda bergerak dengan persamaan $x(t) = A \cos(\omega t)$, maka kecepatan dan percepatan benda tersebut adalah $v(t) = -A \omega \sin(\omega t)$ dan $a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t)$, yang keduanya merupakan fungsi rasional.
Turunan fungsi rasional dapat digunakan untuk menghitung kemiringan dan kelengkungan suatu kurva yang diberikan oleh persamaan parametrik. Misalnya, jika suatu kurva diberikan oleh persamaan $x(t) = f(t)$ dan $y(t) = g(t)$, maka kemiringan dan kelengkungan kurva tersebut adalah $\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$ dan $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{f'(t)g''(t) - f''(t)g'(t)}{[f'(t)]^3}$, yang keduanya merupakan fungsi rasional.
Turunan fungsi rasional dapat digunakan untuk menghitung titik ekstremum dan titik stasioner suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup. Misalnya, jika suatu fungsi diberikan oleh persamaan $f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 + 1}$, maka untuk mencari titik ekstremum dan titik stasioner fungsi tersebut, kita dapat menyelesaikan persamaan $f'(x) = 0$, yang merupakan persamaan rasional.
Demikianlah beberapa contoh aplikasi turunan fungsi rasional dalam dunia nyata. Dengan mempelajari turunan fungsi rasional, kita dapat meningkatkan pemahaman kita tentang kalkulus dan matematika secara umum. 061ffe29dd